植树问题——数学公式

一、四要素:总长 间隔长 间隔数 棵数

间隔数=总长÷间隔长

二、四种类型

⑴两端种树:棵数=间隔数+1

⑵两端都不种:棵数=间隔数-1

⑶一端种,一端不种:棵数=间隔数

⑷封闭图形种树:棵数=间隔数

常见题型

1.基本型:求间隔长、求棵数、求总长

2.复杂型:双植树问题

特殊的植树问题:

1 .锯木头(时间花在锯的次数上)

2.爬楼梯、敲钟(时间花在段数上)

方阵

一 、 分类:实心(中实) 方阵、空心(中空)方阵

二、基本特点:

①方阵任何一层的每边上物体数相等

②相邻两层,边长差2

③相邻两层,圈长差8

三 、基本公式 :

①每层物体总数=(该层每边物体数-1) ×4

②实心方阵物体总数=最外层每边物体数 × 最外层每边物体数

③空心方阵物体总数=实心物体总数-空心部分物体总数

专项训练

1.(不封闭路段两端都植树的问题)有一条长800米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需多少棵杨树苗?

【解析】不封闭路段,单侧“两端都植树”的问题。根据“间隔数=总距离÷株距,棵数=间隔数+1”可求。

【答案】800÷20+1=41(棵)

答:在公路的一侧从头到尾每隔20米栽一棵杨树,需41棵杨树苗。

2.(不封闭路段两端都植树的问题)公园大门前的公路长 80 米,要在公路两边栽上白杨树,每两棵树相距 8 米(两端也要种)。园林工人共需要准备多少棵树?  

【解析】这是“两端都植树”的问题。求棵数,可以根据“间隔数=总距离÷株距”可求棵数,再根据“棵数=间隔数+1”可求。

【答案】一边:80÷8+1=11(棵)

两边:11×2=22(棵)

答:园林工人共需要准备22棵树。

3.(不封闭路段两端都不载植树的问题)两座楼房之间相距 56 米,每隔 4 米栽雪松一棵, 一行能栽多少棵?

【解析】两座楼房之间栽雪松,两端都不需要栽。根据“间隔数=总距离÷株距”和“棵数=间隔数-1“来求解。

【答案】56÷4-1=13(棵)

答: 一行能栽13棵。

4. (不封闭路段一端栽的问题) 在20米花坛的一侧,每隔4米栽一棵树苗(只栽一端)。一共需要多少棵树苗?

【解析】”一端栽一端不栽的植树问题“ 可以根据“间隔数=总距离÷株距”和“棵数=间隔数”来求解。

【答案】20÷4=5(棵)

答:一共需要5棵树苗。

5.(封闭图形的植树问题) 一个圆形花坛的直径是10米,在花坛的周围摆上花盆,每隔1.57米放一盆,一共可以放多少盆?

【解析】根据圆的周长公式:c=πd,把数据代入公式求出圆的周长,封闭图形的植树问题中“棵数=间隔数”,相当于用“圆的周长÷花盆的间隔距离”即可解决。

【答案】3.14×10÷1.57

=31.4÷1.57

=20(盆)

答:一共可以放20盆。

6.(易混淆的植树问题)张大伯在承包的正方形池塘四周种上树,池塘边长为 60 米,每隔5米种一棵,四个角上各种一棵,张大伯买了 50 棵树苗够吗?

【解析】池塘边长为 60 米,每隔5米种一棵,四个角上各种一棵,仅从其中一条边来看,题为不封闭路两端都载的植树问题,所以有一边的棵数=间隔数+1,注意正方形中相邻的两条边相交于一点,所以每个交点处会多计算一棵树,需要用总棵数-4

【答案】解:一边棵数:60÷5+1=13(棵)

四边总棵数:13×4-4=48(棵)

48<50,够用

答:张大伯买了 50 棵树苗够用。